벼락치기

Point
벼락치기는 한 두번 쯤 어쩔 수 없을 때 하는 공부방식이다. 늘 벼락치기를 하게 되면 지속적인 학습에 방해가 된다.

학교 다닐 때 벼락치기 한번 안해본사람은 없을 것이다. 무슨 일이 생기거나 공부를 너무 하지 않은 상태에서 시험을 며칠 남겨 두지 않았을 때 벼락치기를 하게된다. 하지만 수학을 벼락치기하기란 힘들다. 대략 2달정도 배운 내용을 중간고사, 기말고사를 통해서 시험을 치르는데, 그 과정을 1주,2주 내에 자기 것으로 만들기는 힘들다. 그래서 시험에 나올 만한 것을 정해서 집중적으로 하게 된다. 학교 수업을 전혀 듣지 않았다면 거의 망하는 지름길이다. 그나마 수업 시간에 필기라도 해 놓았으면 중요도를 어느 정도 알수 있을 것이다.
벼락치기를 하면 운 좋게 몇 번은 성공할 수 있을 것이다. 하지만, 벼락치기로 계속 꾸준한 좋은 성적을 기대할 수는 없다.
벼락치기의 신화는 지속된다. 너무나 매력적이고, 심지어는 벼락치기를 해서 혹은 찍었는데 좋은 점수가 나왔다고 떠벌리고 다니는 상황이 발생하기도 한다. 다른 사람에게 악의적인 상처를 주려는 의도다. 사악하다.
수학은 단원이 연결이 되어 있기 때문에 벼락치기가 통하지 않는 대표과목 중에 하나다. 그런데, 학생들은 벼락치기로 가능하다고 믿고 그렇게 해서 성적이 나오지 않으면 좌절한다. 애초에 되지 않는 방법으로 노력을 하니 그 결과는 당연히 만족할 수 없는 수준으로 나온다.

이상한 일

공부하란 말은 많이 하지만, 어떻게 공부하는지는 가르쳐 주지 않는다.

• 학생들이 가장 많이 듣는 말이 “공부해라”라는 말이다. 하지만 “어떻게 공부해야 하는지”는 말해주는 사람이 거의 없다. 이상한 일이다. 아마 부모가 공부하는 법을 모르기 때문이 아닐까?
• 공부하란 말을 많이 하는 집의 아이들이 공부를 못한다. 아이들은 항상 어른이 하는 말 반대로 하는 경향이 있다.
• 학원에서 공부하는 법을 가르쳐 주지 않는 것은 학생들이 학원에 의존할 수록 학원은 탄탄해지기 때문일 것이다.
• 오늘도 학생들은 어떻게 공부하는지는 모르지만 무작정 열심히 열심히 책상에 앉아서 공부를 한다.
• 학부모가 공부에 자신이 없을 때 가장 선호하는 방법은 남들이 다니는 학원에 똑같이 보내는 일이다. 망해도 같이 망하니까 불안하지는 않다. 이건 사회 전반적으로 나타나는 현상이다. 스스로의 사유에 의한 행동 결정이 아닌 다른 사람들이 하는 대로 하면 중간은 한다 이런 생각이 지배적이다.
• 우리 부부는 학원 강사 출신이다. 그래서 아이들을 학원에 보내지 않는다. 학원의 생리를 잘 알기 때문이다.
• 초등학교 5학년의 아들은 학원을 전혀 다니지 않는 몇 안되는 아이로 되어 있다. 그렇다고 엄마, 아빠가 집에서 가르치는 것도 아니다. 공부하는 방법만 알려주고 아이가 스스로 알아서 하도록 지도한다.
• 고등학교에 가면 학생들을 집에 보내지 않는 자율학습을 한다. 선택할 여지도 주지 않으면서 자율학습이란 이름을 수십년째 사용하고 있다.
• 그들은 학생들을 한 교실에 몰아넣고 책상에 앉아있으면 공부가 저절로 된다고 생각을 하는 모양이다. 그래서, 전국적으로 자율학습시간이 제일 긴 도시인 울산의 학력을 제일 꼴찌에 머무르고 있다. 그래도, 자율학습은 오늘도 이루어진다.
• 고등학생 학력이 세계에서 1,2위를 다툰다. 1위는 핀란드다. 우리의 교육부 장관이 핀란드 장관에게 우리나라 학생들도 잘한다고 말했다. 핀란드 교육부 장관이 “핀란드 아이들은 웃으면서 공부하지만, 당신네 나라 학생들은 울면서 공부하잖소?”
• 그 말이 맞다. 핀란드 고등학생은 매일 체육을 1시간씩 한다. 그리고, 나머지 공부까지 다 마쳐도 2시다. 우리나라 학생들이 머리가 나쁜 걸까? 핀란드 학생의 2배를 학교에 있어야 비슷한 학업 성취도를 이룬다.
• 하루 14시간을 학교에서 보내는 걸 당연하게 생각한다. 어른들의 노동 시간은 9시에서 6시까지다. 하지만 어른들은 50분 동안 책상에 앉아 있다가 10분 휴식을 취하는 일은 하지 않는다.

공부와 과제

학원에서 수업을 하면 반드시 과제를 내는 편이다. 과제를 내는 목적은 오늘 배운 내용을 문제를 풀면서 익히는데 있다.

과제를 위한 숙제

학생에게 있어서 목표가 숙제를 다하는 것이라면 답을 베끼던, 엉터리로 풀던 간에 끝까지 풀기만 하면 된다. 대부분의 학생들은 이런 자세를 취한다. 이런 생각으로 숙제를 하게 되면 학원 가는 날 급하게 숙제를 하게 된다. 이렇게 숙제를 하면 남는 것이 없다. 시간과 에너지, 그리고 종이 낭비다. 이건 학생들의 문제는 아니다. 자라면서 자신도 모르게 숙제란 제출하기만 하면 된다는 생각으로 공부를 했으니까 말이다.

공부를 위한 숙제

1. 모르거나 틀린 문제의 처리

문제를 풀다가 모르는 것이 있을 때는 문제에 표시를 한 다음에 채점 후에 답지를 확인하거나, 아니면 책을 찾아본다. 이 문제를 못 푼 이유가 어떠한 이론을 정확히 이해를 못했는지, 아니면 문제를 해석하는 데 어떤 조건을 생각 안했는지 확인을 하는 것이다. 이렇게 과제를 한다면 숙제를 더해도 얻는 것이 있다. 평소에 아는 것과 모르는 것을 구별을 해놓으면, 시험 기간에 모르는 문제들을 집중해서 공부할 수 있다.

2. 학생이 할 수 있는 일과 학원에서 해야 할 일을 구별하자.

중학생과 고등학생의 차이점은 학원에 다닐 시간이 급격하게 줄어든다는 것이다. 야간 자율 학습을 마치고 나면 학원을 하나 정도 다닐 수 있다. 일반적으로 일주일 기준으로 2회 정도 수업을 받는다. 하루에 1시간을 수학 공부를 한다면 7시간을 혼자서 공부를 한다. 학원에서 보내는 시간은 1주일에 3시간이다.

어느 시간이 더 실력을 높이는데 중요할까? 혼자서 보내는 7시간이다. 이 시간에 학생 혼자서 할 수 있는 것은 열심히 반복을 해서 능숙하게 익히도록 한다. 학원에서는 혼자서 할 수 없는 새로운 이론을 배우거나, 문제집에서 이해 안되는 부분을 질문을 해야 효율적인 학원 생활이 될 수 있다.

원판에 색칠하기

예제
그림과 같이 6개의 영역으로 나누어진 원을 A,B,C,D,E,F의 6가지 색을 사용하여 칠하려고 한다. 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 이웃한 영역은 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 구하라. (단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠하고, 가운데 원을 제외한 나머지 5개의 영역은 모두 합동이다)

풀이

1. 6가지 색을 다 사용하는 경우
   중앙에 들어갈 수 있는 색 6가지, 그 외는 5색이 원순열
   $$6 \times (5-1)!$$
2. 5가지 색을 사용하는 경우
   
   • 중앙에 들어갈 수 있는 색 6가지
   • 5가지 색 중에서 4가지색 선택:$\mathrm{_5C_4}$
   • 그 외에는 1가지 색을 2번쓰고: $\mathrm{_4C_1 = 4}$
   • 나머지 배열: $3!$
     $$6 \times \mathrm{_5C_4} \times4 \times3!$$
3. 4가지 색을 사용하는 경우
   
   • 중앙에 들어갈 수 있는 색 6가지
   • 5가지 색 중 3가지 선택: $\mathrm{_5C_3}$
   • 3가지 색 중 1번 쓸 색 선택: 3가지
   • 배열 2가지
     $$6 \times \mathrm{_5C_3} \times3 \times2$$
4. 총경우의 수는 = $1+2+3$

수학 답지

수학 해설서

대부분의 수학 문제집에는 해설서가 딸려 있다. 해설서에는 답과 함께 풀이 과정이 적혀있다.
고등학교 문제집은 문제집 두께 만한 답지가 제공된다. 해설서는 혼자서 공부하는 시간이 많은 고등학생들에게는 없어서는 안 될 책이다. 해설서가 없다면 문제를 모를 때마다 학교나 학원 선생님께 도움을 받아야 한다.
초등학교, 중학교 때에 해설지 보는 방법을 익혀야 한다. 그렇지 않으면 고등학교 때에 가서 답지를 봐도 이해를 못하는 상황이 되고 만다.
초등학생과 중학생의 경우 학원을 다니게 되면 답지를 학원에서 거둔다. 이렇게 되면 학생들이 답지를 보면서 풀이 과정에 대해 고민할 기회를 뺏기는 결과를 가져온다. 물론 베끼지 못하게 하는 효과는 있겠지만, 베끼려고 마음을 먹으면 친구들 끼리 답지를 공유하거나, 아니면 답지를 따로 구입하는 경우도 있으니 별 의미없다.

해설서 보는 방법

1. 정답이 맞는 문제의 해설서 참조

문제를 풀고 난 후 채점을 한다. 단순히 답만 확인하지 말고, 자신이 푼 방법이 옳은가 혹은 풀이과정이 다른 부분이 있는지 비교를 하자. 자신의 풀이가 길 때는 맞는 문제라도 반드시 답지를 확인하는 습관을 들이자.
답지 방법이 본인 방법보다 간단하거나 효율적일 때는 문제 번호 옆에다 답지 해설 참조라고 반드시 표시를 해 둔다. 그래야 다음에 문제를 풀 때, 해설을 챙겨서 볼 수 있다.

2.모르는 문제의 답지 해설을 보는 방법

한번은 답지 내용을 적거나, 풀이과정에 밑줄을 치면서 집중해서 본다. 이해를 했다고 생각될 때는 답지를 덮고, 깨끗한 종이에 다시 한 번 자신의 힘으로 문제를 풀어보자.
처음에는 잘 안 될 것이다. 이 상황이 알 것 같다는 생각과 아는 것과의 차이점이다. 그래서, 정확히 알 때까지 답지를 꼼꼼히 보고, 후에 혼자 힘으로도 풀 수 있을 때까지 위 과정을 반복한다.
이 방법은 두 가지 장점이 있다. 하나는 풀이를 볼 때, 집중력을 키울 수 있다는 점이다. 둘째는 알 것 같은 것과 아는 것의 명확한 구분이 가능해진다.

부자와 별장지기

여름 별장을 가진 부자가 있었다.
여름을 맞아 가족과 함께 호수가 있는 자신의 별장으로 여름휴가를 가게 되었다. 어린 아이들이랑 배를 타고 노를 저어서 호수에서 즐거운 시간을 보내고 별장으로 돌아왔다. 별장 선착장에 배를 묶으면서 보니까 배에 구멍이 나있었다.

큰 일 날뻔 했군. 집으로 돌아가기 전에 배를 손질해야 겠다.

라고 그는 생각을 했다. 하지만, 곧 애들이랑 노느라 그 생각을 까맣게 잊어버렸다. 즐거운 여름 휴가를 보내고 가족과 함께 집으로 돌아갔다.
1년이 흘러 다시 여름 별장으로 휴가를 왔다. 애들은 이제 커서 애들끼리 배를 타고 나가고 싶어했다. 부자도 흔쾌히 승낙을 하고, 애들은 즐거워하며 노를 저어 호수 멀리까지 나아갔다.
애들이 안보일 때 쯤 되었을 때, 작년 여름 생각이 난 부자는 얼굴이 새하얗게 질렸다. 미친 듯 호수로 뛰어갔더니, 애들이 아무 일 없이 노를 저어오는 것이 아닌가?
배 바닥을 보았더니 구멍이 말끔하게 막혀 있었다.
여름 별장 관리인이 배의 구멍을 발견하고 수리를 해 놓았던 것이다.

부자는 학생이다. 잘 모르는 문제를 만났을 때, 그 자리에서 해결해야 한다. 가족의 안전을 뒤로 미룬 부자에게는 별장 관리인이라도 있었다. 하지만, 여러분은 혼자다
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고등학생은 쉬는 시간에 수학 문제를 풀자

쉬는 시간에 수학 문제를 풀자.

쉬는 시간 10분은 수학 문제를 3,4문제 풀 수 있는 시간이다. 평소에 문제 푸는 속도가 느리다면, 쉬는 시간에 집중해서 풀어보자. 평소에 하려면 시간을 따로 재야 하지만 쉬는 시간은 종이 알아서 쳐준다.

수학을 하루에 얼마나 공부를 하면 좋을까? 수학은 한번에 공부하는 시간 보다는 몇 번을 하느냐가 중요하다. 공부의 양도 중요하지만 얼마나 집중하느냐가 더 중요한 요소이다. 집중력은 개인마다 차이가 많이 나므로 공부를 하다가 집중력이 떨어지면 중단하는 것이 좋다. 집중 안 된 상태에서 억지로 수학 공부를 하다 보면 오히려 흥미도 떨어지고, 공부가 아니라 노동이 되어 버린다.

추천 할 만한 시간은 10분에서 15분 정도이다. 수학이 학생들에게 워낙 부담이 되는 과목이다 보니 보통 2,3시간을 공부 시간으로 계획을 한다. 지금 같은 방학일 수록 더욱 그러하다. 주말에 5시간씩 계획을 잡을 것이다. 하지만 지나보면 그 계획은 물거품으로 돌아가고, 1시간도 채 안 되는 결과를 마주하게 된다. 그 뒤를 따르는 자책감과 나는 왜 수학을 못할까 하는 원망은 수학 실력을 기르는데 방해만 된다.

이런 일이 반복되면 수학 자체에 흥미를 잃게 된다. 시간을 많이 잡게 되면 시작하기가 힘들고, 또한 중간에 어려운 문제와 마주치게 되면 시간을 낭비하다가 지치기 쉽다.

학교 다닐 때는 쉬는 시간 10분을 수학 문제 푸는 데에 쓰는 것이 좋다. 그 이유는 오랜 기간 쉬는 시간에는 정신이 맑아지게 몸이 훈련이 되어 있기 때문이다. 수업 시간에 참을 수 없는 졸림과 싸우다 가도 수업 종이 치면 이상하게도 잠이 싹 달아나는 경험을 해 본 적 있을 것이다. 초등학교 6년, 중학교 3년을 학교 수업 시간에 몸이 적응해온 결과이다. 이 때 3문제 정도 푼다는 마음으로 연습장에 문제를 쓱 쓱 풀어보자. 평소에는 공부 시간을 재려면 시계가 필요하지만 쉬는 시간은 학교 종이 치니 신경 쓸 필요가 없다. 쉬는 시간 푸는 문제 수가 증가한다면 그것은 실력이 향상되었다고 생각해도 좋다. 문제 접근 속도와 문제 파악 능력, 계획, 실제로 계산하는 능력이 향상되어야 쉬는 시간 10분간 5문제 이상을 풀 수가 있다.

일반적으로 고등학생은 7,8교시를 매일 하니까 쉬는 시간을 6번 활용하면 1시간 공부한 양이 된다. 하지만, 집중한 10분이 6개가 모인 것이라 야간 자율 학습 시간 2시간 분량보다도 많을 것이다. 한 번 비교해 보면 확실하게 느껴 질 것이다.

쉬는 시간에 공부를 하고, 밤에 1시간 잠을 더 자는 것이 학생들의 수학 성적 혹은 수학 실력을 높이는 지름길이다.

학생들에게 쉬는 시간에 공부하라고 권하면 시끄러워서 못한다는 답변이 돌아온다. 처음에는 당연히 집중이 안된다. 한 1주일을 참고 하다보면 어느 순간 주변 소리가 안 들리는 무음의 상태가 된다. 집중력이 강해진 것이다.

한가지 더 유의할 점은 쉬는 시간 시작과 동시에 문제를 풀 수 있도록 문제집 사이에 연습장을 미리 끼워두자. 펼치면 바로 문제를 풀 수 있는 상태를 미리 만들어 두는 것이다. 쉬는 시간이 시작되어서 뒤에 있는 사물함 가서 문제집 꺼내고, 문 닫고 자리에 앉으면 5분이 간다. 시작과 동시에 문제를 풀도록 하자. 집중력을 단기간에 키울 수 있는 가장 좋은 방법은 쉬는 시간에 수학 문제를 푸는 것이다.