예제
그림과 같이 6개의 영역으로 나누어진 원을 A,B,C,D,E,F의 6가지 색을 사용하여 칠하려고 한다. 같은 색을 중복하여 사용해도 좋으나 이웃한 영역은 서로 다른 색으로 칠하는 방법의 수를 구하라. (단, 각 영역에는 한 가지 색만 칠하고, 가운데 원을 제외한 나머지 5개의 영역은 모두 합동이다)
풀이
큰 일 날뻔 했군. 집으로 돌아가기 전에 배를 손질해야 겠다.라고 그는 생각을 했다. 하지만, 곧 애들이랑 노느라 그 생각을 까맣게 잊어버렸다. 즐거운 여름 휴가를 보내고 가족과 함께 집으로 돌아갔다.
부자는 학생이다. 잘 모르는 문제를 만났을 때, 그 자리에서 해결해야 한다. 가족의 안전을 뒤로 미룬 부자에게는 별장 관리인이라도 있었다. 하지만, 여러분은 혼자다
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쉬는 시간 10분은 수학 문제를 3,4문제 풀 수 있는 시간이다. 평소에 문제 푸는 속도가 느리다면, 쉬는 시간에 집중해서 풀어보자. 평소에 하려면 시간을 따로 재야 하지만 쉬는 시간은 종이 알아서 쳐준다.
수학을 하루에 얼마나 공부를 하면 좋을까? 수학은 한번에 공부하는 시간 보다는 몇 번을 하느냐가 중요하다. 공부의 양도 중요하지만 얼마나 집중하느냐가 더 중요한 요소이다. 집중력은 개인마다 차이가 많이 나므로 공부를 하다가 집중력이 떨어지면 중단하는 것이 좋다. 집중 안 된 상태에서 억지로 수학 공부를 하다 보면 오히려 흥미도 떨어지고, 공부가 아니라 노동이 되어 버린다.
추천 할 만한 시간은 10분에서 15분 정도이다. 수학이 학생들에게 워낙 부담이 되는 과목이다 보니 보통 2,3시간을 공부 시간으로 계획을 한다. 지금 같은 방학일 수록 더욱 그러하다. 주말에 5시간씩 계획을 잡을 것이다. 하지만 지나보면 그 계획은 물거품으로 돌아가고, 1시간도 채 안 되는 결과를 마주하게 된다. 그 뒤를 따르는 자책감과 나는 왜 수학을 못할까 하는 원망은 수학 실력을 기르는데 방해만 된다.
이런 일이 반복되면 수학 자체에 흥미를 잃게 된다. 시간을 많이 잡게 되면 시작하기가 힘들고, 또한 중간에 어려운 문제와 마주치게 되면 시간을 낭비하다가 지치기 쉽다.
학교 다닐 때는 쉬는 시간 10분을 수학 문제 푸는 데에 쓰는 것이 좋다. 그 이유는 오랜 기간 쉬는 시간에는 정신이 맑아지게 몸이 훈련이 되어 있기 때문이다. 수업 시간에 참을 수 없는 졸림과 싸우다 가도 수업 종이 치면 이상하게도 잠이 싹 달아나는 경험을 해 본 적 있을 것이다. 초등학교 6년, 중학교 3년을 학교 수업 시간에 몸이 적응해온 결과이다. 이 때 3문제 정도 푼다는 마음으로 연습장에 문제를 쓱 쓱 풀어보자. 평소에는 공부 시간을 재려면 시계가 필요하지만 쉬는 시간은 학교 종이 치니 신경 쓸 필요가 없다. 쉬는 시간 푸는 문제 수가 증가한다면 그것은 실력이 향상되었다고 생각해도 좋다. 문제 접근 속도와 문제 파악 능력, 계획, 실제로 계산하는 능력이 향상되어야 쉬는 시간 10분간 5문제 이상을 풀 수가 있다.
일반적으로 고등학생은 7,8교시를 매일 하니까 쉬는 시간을 6번 활용하면 1시간 공부한 양이 된다. 하지만, 집중한 10분이 6개가 모인 것이라 야간 자율 학습 시간 2시간 분량보다도 많을 것이다. 한 번 비교해 보면 확실하게 느껴 질 것이다.
쉬는 시간에 공부를 하고, 밤에 1시간 잠을 더 자는 것이 학생들의 수학 성적 혹은 수학 실력을 높이는 지름길이다.
학생들에게 쉬는 시간에 공부하라고 권하면 시끄러워서 못한다는 답변이 돌아온다. 처음에는 당연히 집중이 안된다. 한 1주일을 참고 하다보면 어느 순간 주변 소리가 안 들리는 무음의 상태가 된다. 집중력이 강해진 것이다.
한가지 더 유의할 점은 쉬는 시간 시작과 동시에 문제를 풀 수 있도록 문제집 사이에 연습장을 미리 끼워두자. 펼치면 바로 문제를 풀 수 있는 상태를 미리 만들어 두는 것이다. 쉬는 시간이 시작되어서 뒤에 있는 사물함 가서 문제집 꺼내고, 문 닫고 자리에 앉으면 5분이 간다. 시작과 동시에 문제를 풀도록 하자. 집중력을 단기간에 키울 수 있는 가장 좋은 방법은 쉬는 시간에 수학 문제를 푸는 것이다.
초등학생에게 수학이 뭐냐고 물으면 연산 혹은 계산이라 한다. 초등학교 학부모들이 가장 신경쓰는 부분도 연산 연습을 많이 시키는 것이다. 초등학생의 연산 연습을 학부모들이 가장 집중하는 부분이다.
이는 방문 학습지의 영향일 것이다. 초등학교는 연산만 잘해도 수학 성적이 왠만큼 나온다. 하지만, 계산을 빨리 하는 것이 수학 교육의 목표일까? 아니다, 계산은 계산기로 한다. 그 역할로 컴퓨터가 발명된 것이다.
중학교 과정에서 본격적으로 등장하는 것이 식을 세우는 것과 문자의 사용이다. 학생들이 싫어하는 부분이 실생활의 상황을 주고 식을 세워서 문제를 풀어야 하는 문제이다. 다른 말로 활용 부분. 방정식의 활용, 부등식의 활용 등등이다. 함수의 활용.
수학의 본질은 현실 세계에서 혹은 연구하는 분야에서 마주치게 되는 문제들을 수학적인 언어로 바꾸어 표현하고 그 해결책을 찾는데 있다고 해도 크게 틀린 말이 아닐 것이다. 그러므로, 연산은 방정식을 풀기 위한 하나의 수단이고, 방정식을 풀기 위해서는 식을 세울 줄 알아야 한다. 중학교 과정부터는 단순 계산 문제는 찾아 보기 힘들고, 문자의 사용이 늘어 나면서 연립 방정식을 다루게 된다. 식을 세우고 몇 개의 식으로 문제를 풀어야 하는데, 암산이 가능할까? 아니면 책 한 쪽 여백에다 식도 세우고 문제도 풀만한 충분한 여백이 있는 책은 드물다. 물론 쉬운 문제들은 책에 푸는 것이 쉬울 수도 있다. 고등학교에 입학하면 상황은 악화된다. 대부분의 이론서나 문제집은 문제를 풀 여백이 절대적으로 부족하다.
또 다른 이유 하나는 수학의 특징이 논리적으로 문제를 차근 차근 풀어나가는 데 있다. 이걸 하기 위해서는 깨끗하게 식을 정리하고, 어떤 식과 어떤식을 변형하여 계산하는지 문제를 푸는 스스로가 알아야 중간에 헷갈리지 않는다. 그 훈련을 중 1때 부터 하는 것이다.연습장에 문제를 풀 때 주의점연습장을 그대로 다 쓰는 것이 아니라 반 접어서 쓴다. 그러면 처음 쓸때는 좁아서 답답할 것이다. 하지만, 그 폭이 여러분이 학교에서 치는 시험지에서 문제를 풀수 있는 여백의 폭이다. 익숙해지도록 하자.그리고, 암산은 안 하는 것이 좋다. 암산은 실수를 유발한다. 긴장감이 커질 수록 암산은 믿을 것이 못 된다. 그러므로, 본인이 암산을 잘하더라도 하나 하나 다 쓰고, 눈으로 반드시 확인하도록 한다. 초6에서 중1 때가 일반적으로 학생들이 머리가 가장 빨리 돌아가는 시기라 대부분의 학생들은 암산을 주로 하는데, 암산은 빠르지만 믿을 수 없으므로 손으로 직접 계산하는 습관을 들이도록 하자.
슬프게도, 이 방법은 시험을 대비하여 미리 훈련을 하는 방식이다. 수학을 공부하는 이유 중에 가장 큰 이유는 좋은 성적을 받아 좋은 대학을 가기 위한 것이라는 현실을 외면하지 못해서 어른으로써 미안하고 부끄럽다.
